运放电路的频率特性

定义

频率特性：是指一个放大电路对不同频率的输入信号，所表现出的不同性能。

开环增益

运算放大器的开环增益，是随频率变化而变化的，一般情况下都是随着频率的升高而降低，如图 1.1 所示。

图1.1 实际运放的开环增益曲线

上图所示的红色区域，可以看到曲线开始变得不直了，这种情况这通常发生在开环增益低于 20dB 以下的区域

$$\begin{array}\\ 如果忽视这一段的异常，运放的开环特性可以用如下简化式表达：\\ \dot{A}_{uo}(f) = A_{uom} \times \cfrac{1}{1+j\cfrac{f}{f_H}} \\ 上述公式可以参考晶体管提高部分的，晶体管频率的低通部分；\\ 幅值和相位如下所示：\\ {A}_{uo}(f) = A_{uom} \times \cfrac{1}{\sqrt{1+(\cfrac{f}{f_H})^2}} \\ φ_{uo}(f) = -arctan(\cfrac{f}{f_H})\\ 对开环增益的进一步简化\\ 可知一个反馈系数为 F，衰减系数为 M 的闭环放大电路，其闭环增益与运放开环增益之间的关系为：\\ \dot𝐴̇_{uf}(𝑓) =\cfrac{𝑢̇_o}{𝑢_i}= \cfrac{𝑀 × \dot𝐴̇_{uo}(𝑓)}{1 + 𝐹 × \dot𝐴̇_{uo}(𝑓)} \end{array}$$

​ 上图绘制的两个运放的开环增益曲线，分别为图中橙色、蓝色线，运放 1 的 Auom1=10^7 ，fH1=1Hz，运放 2 的 A_uom2=10^6 ,fH2=10Hz。可以看出，两者的主要差别发生在低频段，随着频率的上升，到 100Hz 处，它们的开环增益已经完全重合，至少肉眼已经无法分辨它们的区别。

​ 用这样两个运放分别制作 10 倍同相比例器，产生的闭环增益的模用 Auf1(f)和 Auf2(f)表示，它们是随频率变化的，如图黄色曲线所示——两根线是重合的。它们在低频段保持闭环增益等于 10，同样的，这个值被称为闭环中频增益，用 A_ufm1=A_ufm2=10 表示。

​ 从而可以得出结论，，在低频处开环增益的不同，对闭环增益曲线的带宽 f_Hf 几乎没有影响。我们希望用一个更为简单的公式描述开环增益曲线：

$$\dot{A}_{uo}(f) = A_{uom} \times \cfrac{1}{0+j\cfrac{f}{f_H}}=-j \times A_{uom} \times \cfrac{f_H}{f}$$

​ 上述公式，在上图中表现为那条绿色的直线，和之前的曲线只是低频段不同，

​ 生产厂家在运放的数据手册中，一般不强调 Auom 和 fH，而重点强调 GBW（增益带宽积)）或者 UGBW（单位增益带宽积）。因此,我们需要利用 UGBW 或者 GBW 对其进行变形。（上述公式为1a）

闭环增益带宽

​ 运放是一个直接耦合高增益放大器，它对低频或者直流是具有高增益的，不具备下限截止频率。

• 闭环增益带宽: 为研究闭环增益变化与开环增益变化之间的规律。

  它是针对一个放大电路定义的，一般指-3dB 带宽，是指随频率升高，闭环增益下降到Aufm的 0.707 倍时对应的频率，用 fHf表示，也可用 fHf-3dB 表示。

• 闭环增益 ydB 平坦带宽：

  随着频率的上升，闭环增益与闭环中频增益 Aufm 的 dB 差值超过 ydB 所对应的频率值，称为 ydB 平坦带宽，用 fHf±ydB表示；

y问题

$$f_{Hf-ydB} = F \times GBW \times \cfrac{\sqrt{1-k^2}}{k},k=10^{-\cfrac{y}{20}}$$

​ 这个表达式就是 y 问题的正问题答案：一个运放的增益带宽积 GBW 已知，用它组成一个放大电路，其反馈系数为 F，衰减系数为 M，则该放大电路的-ydB 上限平坦带宽 fHf-ydB,计算方法如上式所示：

​ 推导过程：

​ 也可以得到 y 问题的逆问题及其答案：一个放大电路，其反馈系数为 F，衰减系数为 M，要求其-ydB 上限平坦带宽为 fHf-ydB，求运放的 GBW。

​ 注意，这两个公式在求解过程中利用了运放开环增益的简化模型，与实际运放的主要差异表现高频段，就是图 1.1 中红色区域，实际运放在这里已经不是直线，且相移已经不再是-90°。如果关键频率结论发生在这个区域，那么计算就会出现较大差异。因此，闭环增益越大，这个公式越准确。