LTI系统时域分析

电路图建立微分方程

根据上图先了解，我们后续所说的微分方程的意义（为什么要解微分方程）

微分方程求解

齐通加非齐特

例题：

微分算子（解微分方程）

• 定义

例题：

• 微分算子性质

  

  

  性质四：后积分的话存在常数项，所以不能直接消除

零输入和零状态响应

连续函数初始值

• 初始值：是n阶系统在t=0时接入激励，其响应在t=0+时刻的值，即

  $$y^{(j)}(0_+) (j=0,1,2…，n-1)。$$

• 初始状态：是指系统在激励尚未接入的t=0-时刻的响应值$y^{(j)}(0_-)$，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关

零输入响应

系统只有齐次解，没有特解

例题：

零状态响应

• 初始值确定

例题：

上述问题：可以使用冲激函数匹配法求零输入的初始值

单位冲激响应和单位阶跃响应

• 冲激响应

  冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。

  基本信号：冲激函数δ(t)
  基本响应：冲激响应h(t)

  h(t)隐含的条件：

  • f(t)=δ(t)

  • h(0-)=h’(0-)=0 (对二阶系统)

• 阶跃响应

  阶跃响应是由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。基本信号：阶跃函数ε(t)
  基本响应：阶跃响应g(t)g(t)

  隐含的条件：

  • f(t) = ε(t)
  • g(0-) = g’(0-) = 0

例题：

卷积

定义背景

• 经典微分方程求解条件：

  确定的输入函数

• 卷积：对任意输入的输出

  

  为了解决传统方法的局限性（信号没有具体的函数表达式），如上图所示，将信号分成若干的小矩形（通过微分等效为一系列冲激信号之和），公式如下：

  $$f(t) = \int\limits_{-∞}^{∞}f(τ)\delta(t-τ)dτ$$

  通过上述公式：就可以将任意信号，表示为冲激形式，对应着冲激响应。根据线性和时不变性，就能的到任意输入的输出。产生响应如下：

  $$f(t) = \int\limits_{-∞}^{∞}f(τ)h(t-τ)dτ$$

  因此定义卷积公式如下：

  $$r(t) = f(t)*h(t) = \int\limits_{-∞}^{∞}f(τ)h(t-τ)dτ$$

易混点个人理解：

​ 首先在公式定义时，明显看到冲激函数的自变量是t(以此为根据做位移)；但在后续的解答过程中，通常把公式理解h先翻转再右移，（此时的自变量已经是τ了）

卷积性质与计算

• 性质

• 常用公式

  

• 计算：

卷积图解法

离散信号分析

差分方程

• 差分定义

  

• 差分方程

  

差分方程的解

• 差分方程的齐次解

• 差分方程的特解

• 全解

  齐次解加特解

例题：

零输入响应

零状态响应

例题：

单位序列响应和单位阶跃响应

针对f(k)无规律的情况，如何求响应。

• 单位序列响应