信号-基本概念

基本分类

• 基于维度分类：一维、二维、三维

• 一维信号的两种形式：

​ 连续信号x(t)，t∈R

​ 离散信号x[n]，n∈Z

• 周期信号与非周期信号

  周期信号：

​ x(t) = x(t+mT) (m∈Z) ——连续信号

​ x(n) = x(t+mN) (m∈Z) ——离散信号

​ 非周期信号

​ 判断多个周期信号之和是否仍然为周期信号：

​ 两个周期信号的周期分别为T1和T2，若T1 /T2为有理数，则周期信号之和仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

举例：

​

• 奇信号和偶信号

  

  信号拆解为奇偶信号是唯一的

  

• 功率信号和能量信号

  

• 离散信号和连续信号

  

  离散的求和与连续的积分是一回事

基本连续信号

• 单位阶跃信号

  

  u(0)可以等于任意的值（基于勒贝格定义的函数相等的概念）

  $$\begin{array}\\ 传统函数相等定义：\\ f_1(t) = f_2(t)\\ 法国数学家勒贝格觉得上述定义过于严格，重新定义如下：\\ \int \limits_{-∞}^{+∞}f_1(t)y(t)dt = \int\limits_{-∞}^{+∞}f_2(t)y(t)dt \end{array}$$

• 冲激函数（宽度无限小，高度无限大的矩阵）

  

  冲激函数的广义函数定义

  $$\int \limits_{-∞}^{+∞}\delta(t)\varphi(t)dt = \varphi(0)$$

  含义: 冲激函数δ(t)作用于检验函数φ(t)的结果是赋值为φ(0)，称为冲激函数的取样性质 。

  简言之，能从检验函数φ(t)中筛选出函数值φ(0)的广义函数就称为冲激函数δ(t) 。

单位冲激函数公式

• 取样性质

  

  注释：最后一题，当t＜0时为0，当t＞0时为1，所以是单位阶跃信号

• 冲激函数导数（冲激偶，结合冲激函数定义（矩形），有正有负）

  

• 尺度变化

  

• 抽样函数

  

基本离散信号

​

信号基本运算

• 移位（左加右减）

  

• 反褶（关于y轴对称）

  

• 尺度运算

  

  解释：

  $$\begin{array}\\ 有以下两个方程：\\ f(t_0);\quad f(2t_1)\\ 使得：\\ t_0 = y_0;\quad 2t_1 = y_0\\ 易得：\\ t_1 = \cfrac{1}{2}t_0 \end{array}$$

注意：

​ 所有的变换都是针对未知量系数（包括乘除因子和加减因子）进行的，尤其是在进行平移时，必须将系数提出去化作标准形式

举例：

在上图中可以印证，注意事项中的内容

​

信号的基本性质

• 线性系统与非线性系统

  线性系统：同时满足齐次性和叠加性

  

  归纳：

  ​ ① 每一项都有x

  ​ ② 每项x的次数都是一次

• 时变与时不变

  

  归纳：

  ① t只在x的括号里

  ② t只能是t, 不能是其它

  ​ 先经系统再时移 == 先时移再经系统（时移、反转、尺度都是对t变化）

• 因果性（系统的响应不应该出现在激励之前）

  

  归纳：

  ​ X括号里的值小于y括号里的值

• 无记忆系统

  

• 可逆系统

  

• 稳定系统

  

连续微分器不稳定，离散微分器稳定