傅里叶变换

信号的正交分解

信号正交

【定义】在(t1，t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t), 若满足(两函数的内积为0)
$\int\limits_{t_1}^{t_2}φ_1(t)φ_2^*(t)dt = 0$
则称：φ1(t)和φ2(t)在区间（t1,t2）内正交

正交函数集
完备正交函数集

傅里叶级数

任意信号都可以化作一组正交基的代数组合（可以将信号从无规律化作有规律）

傅里叶：提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。

三角形式的傅里叶级数

三角函数集 {1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}设周期信号f(t)，其周期为T，角频率w=2π/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。

狄利赫里三条件：

傅里叶级数（施密特正交化）：

指数形式的傅里叶级数
两种傅里叶级数关系

例题：

例题2023-05-18 214740

直观图像：

图像2023-05-22 143030

上图为一个门信号，分解后的各谐波分量组合图像。

吉布斯现象：

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。
当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

频谱

周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。

单片频谱和双边频谱的关系：

从上图可以看出(根本原因：三角形式和复数形式的关系):
- 幅值为偶函数（降低了一半）
- 相位为奇函数（关于原点对称）
频谱特点：

上图中sa为筛选信号：

分析：
- 结论：T不变，τ 变小，时域压缩，频域展宽
- 情形2
信号的能量主要集中在低频分量中。